Родился 12 августа 1964 г. в Донецке. В 1986 г. окончил Донецкий политехнический институт по специальности «горный инженер». В 1989 г. окончил аспирантуру того же института, после чего защитил кандидатскую диссертацию.
1983 г. - подземный горняк на шахте им. Засядько. 1984-1986 гг - ученик горняка, подземный горный мастерна шахте им. Горького. 1986 г. - заместитель начальника участка шахты «Белореченская ПО «Ворошиловградуголь» (с. Белореченское Ворошиловградской области, сейчас - Луганская область).
В 1991-1994 гг Андрей Клюев работал техническим директором объединения «Шельф», президентом АО «Промкомсервис», гендиректором АО «Укрподшипник».
1994 г. - замглавы Донецкого облсовета.
1995-1996 гг - заместитель председателя Донецкой облгосадминистрации по вопросам развития рыночных отношений, приватизации, реформирования экономики и труда, угольной промышленности.
1996-2002 гг - депутат Донецкого горсовета. Параллельно, в 1996-1998 гг Андрей Клюев работал первым заместителем мэра Донецка, а в 1998-2002 гг - заместитель главы Донецкой ОГА (Виктора Януковича).
2002-2006 гг - народный депутат.
С 10 декабря 2003 г. по 29 декабря 2004 г. - вице-премьер по вопросам ТЭК в правительстве Виктора Януковича, глава правительственного комитета по вопросам промполитики.
В 2006 г. по списку Партии регионов Андрей Клюев избирается в ВР. Также на внеочередных парламентских выборах 2007 г. Андрей Клюев вновь входит в состав парламента.
С 4 августа 2006 г. по 18 декабря 2007 г. Андрей Клюев вновь занимает пост вице-премьера по ТЭК в Кабмине Виктора Януковича.
С 11 марта по 9 декабря 2010 г. - первый вице-премьер в правительстве Николая Азарова. С 9 декабря 2010 г. по 14 февраля 2012 г. совмещал пост первого вице-премьера с должностью министра экономического развития и торговли.
14 февраля 2012 г. Андрей Клюев назначен секретарем Совета национальной безопасности и обороны.
23 апреля 2012 г. возглавил центральный избирательный штаб Партии регионов.
Награжден орденом «За заслуги» III и II степеней. Президент Федерации бокса Донецкой области.
На паях с родным братом Сергеем (народный депутат от ПР) является совладельцем корпорации «Укрподшипник».
